Monte-Carlo-Simulation zum Ausprobieren

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Monte-Carlo-Simulation zum Ausprobieren

Dieser Explainer benötigt JavaScript. Die Idee dahinter: Man zieht sehr oft zufällige Eingaben, rechnet für jede Ziehung das Ergebnis aus und liest aus der Häufigkeitsverteilung der Ergebnisse Wahrscheinlichkeiten ab.

So funktioniert der Explainer

π schätzen. Zufallspunkte $(x, y)$ werden gleichverteilt in das Einheitsquadrat geworfen. Ein Punkt liegt im Viertelkreis, wenn $x^2 + y^2 \le 1$. Der Viertelkreis hat die Fläche $\pi/4$, also trifft jeder Punkt mit Wahrscheinlichkeit $p = \pi/4$. Daraus folgt der Schätzer

Bei 10.000 Punkten liegt der Standardfehler bei etwa 0,016; für eine Nachkommastelle mehr Genauigkeit braucht man rund hundertmal so viele Punkte.

Projektplanung. Fünf Aufgaben haben eine unsichere Dauer, beschrieben durch eine Dreiecksverteilung mit Minimum $a$, wahrscheinlichstem Wert $c$ und Maximum $b$; ihr Mittelwert ist $(a + b + c)/3$. Die rechtliche Prüfung läuft parallel zu Umsetzung und Tests:

Für jede der 10.000 Simulationen werden alle Dauern neu gezogen. Histogramm und S-Kurve zeigen, wie wahrscheinlich es ist, bis zu einem bestimmten Tag fertig zu sein. Die Aufgaben werden dabei als unabhängig angenommen – eine bewusste Vereinfachung.

Drei Dinge zum Ausprobieren

1. Der Plan nach wahrscheinlichsten Dauern. Die Summe der wahrscheinlichsten Werte ergibt 28 Tage. Weil die Verteilungen nach rechts schief sind, wird dieser Plan nur in etwa 7 % der Simulationen eingehalten; der Median liegt bei gut 34 Tagen.
2. Den parallelen Pfad kritisch machen. Setzen Sie die rechtliche Prüfung auf 15, 21 und 35 Tage. Die Summe der wahrscheinlichsten Werte bleibt 28 Tage – der Median steigt trotzdem von gut 34 auf etwa 36 Tage, weil jetzt in fast 40 % der Läufe der langsamere von zwei parallelen Pfaden das Ende bestimmt.
3. Genauigkeit gegen Aufwand. Lassen Sie die π-Schätzung laufen und beobachten Sie das Band: Es wird mit wachsendem $N$ enger, aber immer langsamer – der Fehler schrumpft nur mit $1/\sqrt{N}$.

Mehr zu Methode, Verteilungswahl und typischen Fehlern steht im Artikel zur Monte-Carlo-Simulation.