Bayes-Update interaktiv

Interaktiv

Bayes-Update live: Prior, Likelihood und Posterior

Dieser Explainer benötigt JavaScript. Die Rechnung dahinter: Aus einem Prior $\Beta(\alpha, \beta)$ und $k$ Erfolgen in $n$ Versuchen wird der Posterior $\Beta(\alpha + k, \beta + n - k)$.

So funktioniert der Explainer

Gesucht ist eine unbekannte Erfolgsquote $\theta$ – etwa die Konversionsrate einer Seite oder die Trefferquote eines Verfahrens. Die gestrichelte Kurve ist der Prior: Ihre Vorannahme, bevor Daten vorliegen. Jede Beobachtung ist ein Erfolg oder Misserfolg. Die orange Kurve zeigt die Likelihood dieser Daten, zur besseren Vergleichbarkeit auf Fläche 1 normiert. Die gefüllte Kurve ist der Posterior – das Produkt aus beidem, neu normiert.

Weil der Beta-Prior zur Binomial-Likelihood konjugiert ist, lässt sich das Update exakt angeben:

Das schattierte Band ist das zentrale 95-%-Kredibilitätsintervall; die Kennzahlen rechnen mit der exakten Beta-Verteilung, nicht mit einer Näherung.

Drei Dinge zum Ausprobieren

1. Wenig Daten, starker Prior: Wählen Sie „Informiert“ und fügen Sie fünf Erfolge hinzu. Der Posterior bewegt sich kaum – das Vorwissen wiegt so viel wie 40 Beobachtungen.
2. Viele Daten: Simulieren Sie mehrmals 50 Beobachtungen. Egal mit welchem Prior Sie starten, der Posterior konzentriert sich um das wahre $\theta$.
3. Schwelle: Verschieben Sie die Schwelle und beobachten Sie, wie sich $P(\theta > \text{Schwelle})$ verändert. Genau diese Größe braucht man für viele Entscheidungen.